Activité : Approche de la notion de fonction avec le logiciel géoplan

Dans la figure suivante, A est sur le cercle de centre o et de rayon 2. B est le symétrique de A par rapport à l'axe (oy) et C est le symétrique de B par rapport à l'axe (ox).

On cherche la position du point A pour que l'aire du triangle ABC soit maximale.

1. Construction de la figure avec Géoplan

Ouvrir le logiciel dans le dossier Commun/Maths , exécuter le fichier geoplangeospace par un double-clic.

Dans le menu Fichier , choisir Nouvelle figure du plan

Une fenêtre de travail s'ouvre, cliquer sur le bouton pour afficher le repère.

Choisir ensuite Créer >> Ligne >> Cercle >> Défini par centre et rayon

Une boite de dialogue s'ouvre, compléter la comme ci-dessous:

Valider en cliquant sur le bouton

A cette étape vous devez obtenir la figure suivante:

Placer un point A sur le cercle par la séquence :

Créer >> Point >>Point libre >> Sur un cercle

Puis en complétant la boite comme ci-contre:

Observer que vous pouvez déplacer le point A en cliquant sur lui et le déposant ailleurs sur le cercle.

Placer le point B en utilisant la séquence suivante:

Créer>>Point>>Point image par>>Symétrie axiale

Puis en complétant la boîte comme ci-contre:

Observer que lorsqu'on déplace le point A, le point B se déplace aussi.

Placer le point C en utilisant la séquence suivante:

Créer>>Point>>Point image par>>Symétrie axiale

Puis en complétant la boîte comme ci-contre:

Observer que lorsqu'on déplace le point A, les point B et C se déplacent aussi.

Question 1 : Essayer de déplacer les point B et C. Est-ce possible ? Pourquoi ?

Construire le triangle ABC :

Créer>>Ligne>>Polygone>>Polygone défini par ses sommets

Question 2: Quelle est la nature du triangle ABC? Pourquoi ?

Question 3: Lorsque A se déplace sur le cercle, que peut-on dire du point o par rapport au segment [BC] ? Pourquoi ?

2. Exploitation de la figure

La procédure suivante, va permettre d'afficher l'abscisse du point A:

Créer>>Numérique>>Calcul géométrique>>Abscisse d'un point dans le plan

Créer>>Affichage>>Variable numérique déjà définie

Question 4: Quelles sont les abscisses de A pour lesquelles le triangle ABC n'existe pas ? (triangle « plat »)

La procédure suivante va permettre d'afficher l'aire du triangle ABC:

Créer>>Numérique>>Calcul géométrique>>Aire d'un triangle

Créer>>Affichage>>Variable numérique déjà définie

Question 5 : Recopier et compléter le tableau suivant

x	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
Aire de ABC									

Question 6 : Quelle est la valeur maximale de l'aire du triangle ABC ? Pour quelles valeur(s) de x est-elle obtenue ?

Pour mieux visualiser les variations de cette aire, on va placer un point M d'abscisse x et d'ordonnée l'aire de ABC:

Créer>>Point >>Point repéré>>Dans le plan

Observer le comportement de M lorsque x varie.

On va colorier le point M en rouge:

Cliquer sur le bouton puis sélectionner la couleur rouge et cliquer sur le point M.

On voudrait ensuite conserver la trace des positions du point M:

Afficher>>Sélection trace puis sélectionner le point M

Cliquer ensuite sur le bouton

Faire bouger le point : on obtient un joli dessin

Question 7: Essayer de décrire avec précision les variations de l'aire de ABC lorsque x varie (faire au moins 4 phrases)

3. Exploitation d'une représentation graphique

On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe représentant l'aire du triangle ABC en fonction de l'abscisse du point A.

a. Trouver graphiquement l'aire du triangle ABC pour x=1,1 puis pour x=-0,5.

b. Combien peut-on construire de triangle ayant une aire de 3 ? Effectuer une construction grahique qui permet de répondre à la question.

Même question pour une aire de 4 .

Même question pour une aire de 4,3 .

4. Travail sur une formule

En fait l'aire du triangle ABC est donnée par la formule :

a. Calculer une valeur exacte de A puis une valeur approchée au centième pour les valeurs suivantes de x:

x	-2	-1	0		
Valeur exacte de A					
Valeur approchée de A au centième					

b. Conclure: quels sont les triangles ABC pour lesquels l'aire de ABC est maximale ?

Cyrille GUIEU

2006-02-28T17:29:45

Cyrille GUIEU