DM n=°2

Exercice 1: Soit f une fonction définie sur telle que:

et

a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point x=2

b) Donner une valeur approchée de f(2,1) et f(1,9) en utilisant la question précédente.

c) Soit g une fonction définie sur IR et qui vérifie:

et

Montrer que pour tout x réel, f(x)=g(x).

a) donc donc l'équation de la tangente est :

b) donc

donc

On définit h une fonction telle que h(x)=g(x)-f(x) pour .

h(2)=0 et h'(x)=0 sur donc h est constante sur : comme h(0)=0 , on en déduit que h est nulle et que donc f(x)=g(x) pour tout x réel.

Exercice 2: Aire maximale d'un trapèze

Soit ABCD un trapèze de grande base [AB] tel que AD=DC=CB=4cm.

On appelle la mesure de l'angle appartenant à .

a) Faire une figure.

b) Exprimer l'aire du trapèze ABCD en fonction de .

c) Soit f la fonction définie sur par: .

Démontrer que

Etudier le sens de variation de f sur .

En déduire la valeur pour laquelle, l'aire du trapèze est maximale et déterminer cette aire maximale.

a)

b) Hauteur du trapèze : Petite base : 4 Grande base:

Aire:

c)

Et comme ,

Par ailleurs, on développe l'expression proposée par l'énoncé:

Sur , le signe de f'(x) est celui de (car cos x +1 est positif).

Sur , cos est strictement décroissante et donc : f est croissante sur et décroissante sur

d) Le maximum de f est atteint pour et il vaut:

Exercice 3 : Existe-t-il une tangente commune aux courbes représentatives des fonctions définie sur et définie sur ?

Equation de la tangente à Cf pour x=a :

Equation de la tangente à Cg pour x=b:

Ces deux droites sont confondues si et seulement si elles ont même coefficient directeur et même ordonnées à l'origine.

on résout la deuxième équation:et

Cette équation a une seule solution (la fonction cube étant strictment monotone et continue sur ) :

On en déduit :

Il existe une seule tangent commune à ces deux courbes : la droite d'équation y=-4x-4 qui est tangente à Cf pour x=-2 et à Cg pour .

Cyrille GUIEU

2006-03-27T10:19:40