Exercice 1 (5 points) : Correction

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité.

Le plan est rapporté au repère (O;,). Unité graphique: 3cm

A tout pour M d'affixe z du plan, on associe le point M' d'affixe z' par l'application f qui admet pour écriture complexe:

1°) On considère les points A,B,C d'affixes respectives , et .

Déterminer les affixes des points A', B',C' images respectives de A,B,C par f.

Placer les points A,B,C,A',B',C'.

donc

donc

donc

2°) On pose z=x+iy (avec x et y réels)

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z' en fonction de x et y.

donc et

3°) Montrer que l'ensemble des points invariants par f est la droite (D) d'équation .

Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

Si z=x+yi et z'=x'+y'i, f(z)=z équivaut au x=x' et y=y' d'où et

Ces deux équations sont équivalentes à 2y=x ou en encore à

Les points invariants par f sont bien les points de (D).

On remarque que A',B' et C' sont sur (D).

4°) Soit M un point quelconque du plan et M' son image par f. Montrer que M' appartient à la droite (D).

Si z'=x'+y'i alors donc M' est sur (D)

5°) a) Montrer, pour tout nombre complexe z:

En déduire que le nombre est réel.

On sait queet que donc d'après ce qui précède:

donc est bien un nombre réel.

b) En déduire que, si M≠M', les droites (OA) et (MM') sont parallèles.

Dans ce cas, d'où et (OM) et (MM') sont bien parallèles.

6°) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N' ?

(On étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).

Effectuer la construction sur la figure.

Si N est sur (D), N'=N : il n'y a rien à faire.

Sinon, N' est sur (D) et sur la parallèle à (OA) passant par N: on place N' à l'intersection de ces deux droites.

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère les suites et définies, pour tout entier naturel n non nul, par :

et

1°) a) Calculer ,et

b) Montrer que pour tout entier naturel n non nul,

On raisonne par récurrence. On note

est vrai car

Montrons que si :

Siest vraie, donc, par définition de ,

est donc vraie.

2°) a) Montrer que, pour tout entier naturel k non nul,

Si k>0, pour on a: (la fonction inverse étant décroissante)

On utilise l'inégalité de la moyenne:

b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes:

et

On sait que donc en utilisant n-1 fois la relation de Chasles:

On encadre chaque terme de cette somme grâce au résultat de la question 2.a:

On reconnaît alors les expressions demandées:

Pour le deuxième encadrement, on déduit de ce qui précède que: d'où

Comme est postif on a bien:

3°) a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul :

On utilise les définitions de etainsi que l'expression intégrale du logarithme néperien:

b) En déduire le sens de variation de la suite .

D'après la question 2.a, donc et la suite est donc décroissante.

4°) Montrer que la suite converge. On note la limite de la suite (on ne cerchera pas à calculer ). Quelle est la limite de la suite ?

D'après la question 2, la suite est minorée. De plus d'après la question 3, la suite est décroissante. Nous savons qu'une suite décroissante et minorée converge. Donc converge.

donc comme et on en déduit que

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice comporte deux parties indépendantes.

La partie I est la démonstration d'un résultat de cours. La partie II est un QCM.

Partie I

Question de cours

Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A etsont indépendants.

On doit évaluerpour cela on remarque que:

et que les évènements et sont incompatibles.

Donc

On en déduit que : (car A et B sont indépendants)

D'où:

Les évènements A et sont bien indépendants.

Partie II

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève ½ point. L'absence de réponse est comptée 0 point. si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est ramenée à zéro.

1°) Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.

On extrait simultanément trois boules de l'urne.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires et une boule rouge ?

A B C D

On choisit 3 boules parmi 8 il y a donc univers de =56 issues.

Il y a = 10 façons de choisir les boules rouges et =3 façons de choisir la boule noire.

La probabilité cherchée est donc c'est à dire .

2°) Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers de la population.

Parmi les grippés, un sur dix est vacciné.

La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population soit grippéé est 0,25.

Quelle est la probabilité pour qu'un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ?

A B C D

On note G l'évènement être grippé et V l'évènement être vacciné.

On cherche .

Par définition

Comme on sait queon a : et comme on a:

ainsi

3°) Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.

Il gagne 10€ si la dé marque 1. Il gagne 1€ si le dé marque 2 ou 4.

Il ne gagne rien dans les autres cas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X ?

A B C D

2 13 16 17

Loi de X:

	10	1	0

Espérance de X:

Variance de X:

4°) La durée d'attente T, en minutes, à un péage d'autoroute, avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre .

On a donc pour tout réel t>0 : (avec )

où t désigne le temps exprimé en minutes.

Sachant qu'un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie àprès) que son temps total d'attente soit inférieur à 5minutes ?

A B C D

0,2819 0,3935 0,5654 0,6065

On cherche

Or et

d'où:

Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un cammion, occupant toute la route arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est-à-dire à ... 30km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment [CC'] sur le schéma ci-dessous.

Le lapin part du point A en direction de D.

Cette direction est repérée par l'angle avec

1°) Déterminer les distances AD et CD en fonction de et le temps et mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

Dans le triangle ABD que l'on suppose rectangle en B, on sait que: donc de plus d'où et

(AD et CD sont exprimées en mètres)

Pour la calcul de et , on utilise la formule:

Les vitesses étant exprimées en on exprime les distances en km ainsi:

et

(Ces durées sont exprimées en heures)

2°) On pose.

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si .

Le lapin a le temps de traverser si et seulement si il met moins de temps à traverser la route que le camion c'est à dire si: ou encore si:

Donc on bien l'équivalence:

3°) Conclure.

On étudie la fonction f pour trouver son signe en fonction de.

Le signe de est celui de.

La fonction sinus étant strictement croissante sur et on obtient le tableau de variations suivant:

	0
	-0,5

Calcul de la limite en (il s'agit a priori d'une forme indéterminée de la forme ):

dans cette écriture le dénominateur de la deuxième fraction tend vers -2 en et comme , on a bien

La fonction f étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires s'applique: f s'annule deux fois.

En utilisant la calculatrice on peut trouver des valeurs approchées de ces deux racines de l'équation f(x)=0: 0,4 et 0,64

Ainsi si l'angle est compris entre 0,4 radian et 0,64 radian, le lapin traverse avant le camion, sinon, le lapin est écrasé.

Représentation graphique de la fonction f

2005-11-16T13:44:25