Baccalauréat S (obligatoire)

Session 2005

Nouvelle-Calédonie

Exercice 1 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité.

Le plan est rapporté au repère (O;,). Unité graphique: 3cm

A tout pour M d'affixe z du plan, on associe le point M' d'affixe z' par l'application f qui admet pour écriture complexe:

1°) On considère les points A,B,C d'affixes respectives , et .

Déterminer les affixes des points A', B',C' images respectives de A,B,C par f.

Placer les points A,B,C,A',B',C'.

2°) On pose z=x+iy (avec xet y réels)

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z' en fonction de x et y.

3°) Montrer que l'ensemble des points invariants par f est la droite (D) d'équation .

Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

4°) Soit M un point quelconque du plan et M' son image par f. Montrer que M' appartient à la droite (D).

5°) a) Montrer, pour tout nombre complexe z:

En déduire que le nombre est réel.

b) En déduire que, si M≠M', les droites (OA) et (MM') sont parallèles.

6°) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N' ?

(On étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).

Effectuer la construction sur la figure.

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère les suites et définies, pour tout entier naturel n non nul, par :

et

1°) a) Calculer ,et

b) Montrer que pour tout entier naturel n non nul,

2°) a) Montrer que, pour tout entier naturel k non nul,

b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes:

et

3°) a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul :

b) En déduire le sens de variation de la suite .

4°) Montrer que la suite converge. On note la limite de la suite (on ne cerchera pas à calculer ). Quelle est la limite de la suite ?

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice comporte deux parties indépendantes.

La partie I est la démonstration d'un résultat de cours. La partie II est un QCM.

Partie I

Question de cours

Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A etsont indépendants.

Partie II

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève ½ point. L'absence de réponse est comptée 0 point. si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est rammenée à zéro.

1°) Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.

On extrait simultanément trois boules de l'urne.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires et une boule rouge ?

D C B A

2°) Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers de la population.

Parmi les grippés, un sur dix est vacciné.

La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population soit grippéé est 0,25.

Quelle est la probabilité pour qu'un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ?

D C B A

3°) Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.

Il gagne 10€ si la dé marque 1. Il gagne 1€ si le dé marque 2 ou 4.

Il ne gagne rien dans les autres cas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X ?

A B C D

2 13 16 17

4°) La durée d'attente T, en minutes, à un péage d'autoroute, avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre .

On a donc pour tout réel t>0 : (avec )

où t désigne le temps exprimé en minutes.

Sachant qu'un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie àprès) que son temps total d'attente soit inférieur à 5minutes ?

A B C D

0,2819 0,3935 0,5654 0,6065

Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un cammion, occupant toute la route arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est-à-dire à ... 30km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment [CC'] sur le schéma ci-dessous.

Le lapin part du point A en direction de D.

Cette direction est repérée par l'angle avec

1°) Déterminer les distances AD et CD en fonction de et le temps et mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

2°) On pose.

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si .

3°) Conclure.

Rappel: La fonction est dérivable sur et a pour dérivée la fonction

2005-11-16T13:44:25