\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\corrige}{(\Large\ding{45} \normalsize) }
\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\lhead{\small{\textbf{Préparation à l'agrégation interne \\ A. DA SILVA}}}
\chead{\Large{\bfseries{Séance \no 1}}}
\rhead{Année 2007}

\section{Quelques éléments de bibliographie}

\subsection{Les généralistes}
Il est important d'avoir en main un ou deux livres assez complets de premier cycle
\begin{dinglist}{226}
\item Arnaudiès-Fraysse Lelong-Ferrand [tomes algèbre 1 et 2].
\item B.Gostiaux, Cours de mathématiques spéciales.
\item Xavier Gourdon, Les maths en tête.
\end{dinglist}

\subsection{Les ouvrages de concours}
\begin{dinglist}{226}
\item Roudier,Algèbre linéaire : Cours et exercices CAPES et Agrégation.
\item Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 1 et 2 : Une bonne source de développement.
\item Rombaldi, Thème pour l'agrégation interne.
\item Tauvel, Exercices pour l'agrégation (algèbre 2).
\item Ruaud-Warusfel, Exercices pour l'agrégation (algèbre 3).
\item Beck-Peyré: Objectif agrégation (pour l'externe mais de nombreuses choses utilisables pour l'interne).
\item Perrin, Cours d'algèbre : idem précédent.
\end{dinglist}

\subsection{Ouvrages plus spécialisés}
\begin{dinglist}{226}
\item Jean Fresnel, Les matrices.
\item Ciarlet: Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation.
\item Rombaldi, Analyse matricielle.
\item Meimné-Testard, Introduction aux groupes de Lie: Livre de bon niveau mais les trois premiers chapitres donnent pas mal de résultats concernant la plupart des groupes topologiques usuels ($\gorth{n}$, $Gl_n(\R)$ etc...) 
\end{dinglist}

\trait

\section{Révisions : Espaces vectoriels, morphismes, matrices, rang, déterminants... }

Les exercices qui suivent ont pour but de revoir les principales notions d'algèbre linéaire. Ils sont de niveau L1-L2. Les exercices ou questions marqués d'un \corrige seront suceptibles d'être corrigés à la première séance, mais toute autre proposition est la bienvenue.\\

\exercice{Zoologie des espaces vectoriels}\\
Dans les cas suivants, dire (et démontrer si besoin est) si $E$ est un espace vectoriel sur $\K$.\\
Préciser s'il est de dimension finie et en donner une base dans l'affirmative.
\begin{enumerate}
	\item $E=\R^n$,  $\K=\R$
	\item $E=\R$,  $\K=\Q$, \corrige
	\item $E=\C^n$,  $\K=\C$
	\item $E=\C^n$,  $\K=\R$
	\item $E=\R^n$,  $\K=\C$
	\item $E=\K_n[X]=\{P \in \K[X], \, deg(P)\leq n \}$, $\K=\R \mbox{ ou } \C$
	\item $E=\mathcal{C}^n([0,1],\K)$, $n \in \N$,\, \, $\K=\R \mbox{ ou } \C$
	\item $E=c_0(\R)=\{(u_n)\in \R^{\N},\, u_n \tendvers{n \to \infty} 0 \} $, \, \, $\K=\R$
	\item $\displaystyle E=\ell^{1}(\R)=\{(u_n)\in \R^{\N},\, \sum_{n=0}^{+\infty}|u_n| < \infty \}$, $\K=\R$ 
	\item $\displaystyle E=\ell^{\infty}(\R)=\{(u_n)\in \R^{\N},\, \sup_{n\in N}|u_n| < \infty \}$, $\K=\R$
	\item $E=\mathcal{P}=\{f:\R\to\R, \mbox{paire}\}$ (respectivement $E=\mathcal{I}=\{f:\R\to\R, \mbox{impaire}\}$), $\K=\R$
	\item $E=\m{A}\mbox{ff}([a,b])=\{f:[a,b] \to \R, \mbox{ affine par morceaux}\}$,\,\, $\K=\R$ \corrige

\end{enumerate}
\bigskip

\exercice{Quelques familles libres de $\mathcal{C}(\R,\R)$}\\
Montrer que dans le $\R$-espace vectoriel des applications continues de $\R$ dans $\R$, les familles suivantes sont libres:
\begin{enumerate}
	\item $(f_{\lambda})_{\lambda \in \R}$ où $f_{\lambda}:\R \to \R,\, x \mapsto e^{\lambda x}$
	\item $(f_{\lambda})_{\lambda \in \R}$ où $f_{\lambda}:\R \to \R,\, x \mapsto |x-\lambda|$ .
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{Une famille libre de $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel \corrige}\\
Soit $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Démontrer que $(\ln(p))_{p \in \mathcal{P}}$ forme une famille libre de $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel.
\bigskip 

\exercice{Somme directe d'un hyperplan et d'une droite}\\
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $H$ un hyperplan de $E$ et $\mathcal{D}$ une droite vectoriel de $E$ non contenue dans $H$. Montrer que $E=H \oplus \mathcal{D}$
\bigskip

\exercice{Sommes directes et projections associées \corrige}
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\R^{\R}=\mathcal{P} \oplus \mathcal{I}$ où $\mathcal{P}$ (resp. $\mathcal{P}$) est l'ensemble des foncions paires (resp.impaires). 
Déterminer la projection $p$ (resp $q$) de $\R^{\R}$ sur $\mathcal{P}$ (resp $\mathcal{I}$) parallèlement à $\mathcal{I}$ (resp $\mathcal{P}$) \\
\item Soient $n\in \N^*$ et $\alpha \in \R$.\\
 Montrer que $\R_n[X]=E_0 \oplus E_1 \oplus...\oplus E_n$ où $E_k=\Vect ((X-\alpha)^k)$, $0\leq k \leq n$.\\
 On note $p_k$ la projection sur $E_k$ parallèlement à $\dis \bigoplus_{i \neq k} E_i$.\\ Si $Q \in \R_n[X]$, déterminer $p_k(Q)$
\end{enumerate}
\bigskip

\exercice{Détermination pratique d'une projection}\\
On considère $E=\R^4$, $F=\Vect(\underbrace{(1,-1,0,2)}_{e_1},\underbrace{(1,-1,1,1)}_{e_2})$ et $G$ le sous espace de $\R^4$ défini par $$\left\{ \begin{array}{l}
x-y+z-t=0 \\
2x-3y+4z-t=0 \\
\end{array}
\right. $$
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $G=\Vect(e_3,e_4)$ où $e_3=(1,2,1,0)$ et $e_4=(2,1,0,1)$ et que $E=F \oplus G$
	\item Soit $p_F$ la projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$.
	
	Déterminer l'expression de la matrice de $p_F$ dans la base canonique de $\R^4$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{Application de la formule du rang \corrige}\\
Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie ($\K=\R$ ou $\C$), et $f,g \in \m{L}(E)$.\\
Montrer que $$\rg(f)+\rg(g)-n\leq \rg(f \circ g) \leq \min(\rg(f),\rg(g))$$


\exercice{Inverse d'un automorphisme, d'une matrice \corrige}\\
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}$ la matrice de $\m{M}_{n+1}(\R)$ définie par $m_{i,j}= \left\{
                       \begin{array}{l}
                      C^{i-1}_{j-1} \mbox{ si } i\leq j \\
                       0 \mbox{ sinon} \\
                       \end{array} \right. $ 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $M$ est inversible.
	\item Soit $\vp$ l'endomorphisme de $\R_n[X]$ définie par $\fonction{\vp}{P}{P(X+1)}{\R_n[X]}{\R_n[X]}$\\
	Montrer que $\vp$ est un automorphisme et donner son inverse.
	\item En déduire $M^{-1}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\section{Dualité}
\exercice{\corrige}
\begin{enumerate}
	\item Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie $n$, rappeler la définition de l'espace dual de $E$, noté $E^*$. Donner sa dimension rappeler la définition de la base duale.
	\item Si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension $p<n$, on considère $F^{\perp}=\{ f \in E^* /f_{|F}=0 \}$.
	Montrer que $F$ est un sous espace vectoriel de $E^*$. Quelle est sa dimension ?
	\item \textbf{Application 1: Polynômes de Lagrange}\\ Soit $E=\R_n[X]$ et soient les polynômes $\dis P_k=\prod_{\stackrel{i=0}{i\neq k}}^{n} \frac{(X-a_i)}{(a_k-a_i)}$ où les $a_k$ sont des nombres réels distincts.\\
	Montrer que $(P_0,P_1,...,P_n)$ forme une base de $E$ et donner la base duale associée $(P_0^*,P_1^*,...,P_n^*)$.\\
	\item \textbf{Application 2 : Calcul de sommes du type $ \sum_{k=0}^N P(k)$}\\
	Soient $E=R_n[X]$ et $P_0=1,\, P_k=\dfrac{X(X-1)...(X-k+1)}{k!} \text{ pour }k\geq 1$.\\
	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $(P_0,P_1,...,P_n)$ forme une base de $E$.
	\item Soient $\Delta:E \to \R_{n-1}[X]$ l'opérateur de différence défini par $\Delta(P)(X)=P(X+1)-P(X)$.\\
	Montrer que la base duale $(P_0^*,P_1^*,...,P_n^*)$ est définie par $$P_k^*(Q)=\Delta^{(k)}(Q)(0) \text{ pour } Q \in E$$ où $\Delta^{(k)}$ désigne l'itérée $k$-ième de $\Delta$, avec la convention $\Delta^{(0)}=Id_{E}$. (\textsl{Indication : remarquer que $\Delta(P_k)=P_{k-1}$ pour $k\geq1$})
	\item Montrer que si $P\in E$ alors $P=\dis \sum_{k=0}^d \Delta^{(k)}(P)(0).P_k$ où $d=deg(P)$
	\item En déduire que si $P\in E$ il existe $Q\in \R_{n+1}[X]$ tel que $P=\Delta(Q)$.
	\item Montrer alors que $\boxed{\sum_{k=0}^N P(k)=Q(N+1)-Q(0)}$ et calculer $\dis \sum_{k=0}^N k^2$
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\section{Quelques thèmes d'étude}
\exercice{Endomorphismes stabilisant certains sous-espaces vectoriels}\\
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$.
On rappelle que $f \in \mathcal{L}(E)$ est une \textbf{homothétie} s'il existe $\lambda$ tel que $f(x)=\lambda x$ pour tout $x \in E$.\\
On dit de plus que $f$ \textbf{stabilise} $V$ si $f(V) \subseteq V$.
\begin{enumerate}
	\item Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ telle que $(x,f(x))$ soit liée pour tout $x$. Montrer que $f$ est une homothétie (on pourra considérer deux éléments $x$ et $y$ et distinguer les cas où la famille $(x,y)$ est libre ou liée).
	\item On suppose maintenant que $f$ stabilise tous les sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $k$, où $1<k<n$.
	\begin{enumerate}
	\item Soit $(e_1,e_2,...,e_{k-1})$ une famille libre. Montrer qu'il existe deux éléments $x$ et $y$ tels que $(e_1,e_2,...,e_{k-1},x,y)$ est libre.
	\item Montrer qu'un sous-espace vectoriel de dimension $k-1$ est l'intersection de deux sous-espaces vectoriels de dimension $k$.
	\item En déduire que $f$ stabilise tous les sous-espaces vectoriels de dimension $k-1$.
	\item Conclure que $f$ est une homothétie.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{Liberté d'une famille de fonctions \corrige}\\
Soit $X$ un ensemble et $f_1,f_2,...f_n$ $n$ éléments de $\m{F}(X,\K)$ où $\K=\R$ ou $\C$. Démontrer que :\\
$(f_1,f_2,...f_n)$ est libre dans $\m{F}(X,\K)$ $\Leftrightarrow$ $\exists \, x_1,x_2,...,x_n\in X$ / ${\det((f_i(x_j))_{1\leq i,j \leq n})= \begin{vmatrix}
f_1(x_1) & \cdots &f_1(x_n) \\
\vdots &          & \vdots \\
f_n(x_1) & \ldots & f_n(x_n) \\
\end{vmatrix} \neq 0}$

\textsl{Indication: Pour la réciproque, procéder par récurrence sur $n$.}

\bigskip
\exercice{Une matrice de trace nulle est un crochet de Lie \corrige}
\begin{enumerate}
	\item Soit $A\in \m{M}_n(\K)$ (où $\K=\R$ ou $\C$) une matrice de trace nulle.
	\begin{enumerate}
	\item Pourquoi $A$ ne peut-elle pas être la matrice d'une homothétie ?
	\item Montrer qu'il existe $e \in \K^n$ tel que $(e,Ae)$ soit libre.
	\item En déduire qu'il existe pour $n \geq 2$, $P \in GL_n(\K)$, $A' \in \m{M}_{n-1}(\K)$ telles que: $$ P^{-1}AP=	\left(
	\begin{array}{c|ccc}
	0 & \times &\cdots \cdots&\times \\
	\hline
	1 &        &        &     \\
	0 &        &      & \\
	\vdots &   &  A'     &  \\
	0 &       &        & \\
	\end{array}
	\right)  $$
	\item En raisonnant par récurrence sur $n$, démontrer alors que tout matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
	
	\textsl{Remarque: Ce résultat ne subsiste pas si on prend des matrices à coefficients dans un corps de caractéristique non nulle.}
 
\end{enumerate}
\item On pose pour toute matrice $B$ et $C$ de $\m{M}_n(\K)$, $[B,C]=BC-CB$ (crochet de Lie). On dira que $M \in \m{M}_n(\K)$ est un crochet de Lie s'il existe $B$ et $C$ $\in\m{M}_n(\K)$ telles que $M=[B,C]$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que si $M$ est un crochet de Lie, $\tr(M)=0$
	\item Montrer que si $M$ est un crochet de Lie alors toute matrice semblable à $A$ en est un aussi.
\end{enumerate}
	\item Soit $\m{D}$ l'ensemble des matrices diagonales et $\m{D}_0$ l'ensemble des matrices de diagonale nulle. Pour $B\in\m{M}_n(\K)$ on pose $\fonction{\phi_{B}}{C}{[B,C]}{\m{M}_n(\K)}{\m{M}_n(\K)}$
\begin{enumerate}
	\item Que valent $\dim(\m{D})$ et $\dim(\m{D}_0)$ ?
	\item On suppose que $B \in \m{D}$ (on pose $B=\mbox{diag}(b_1,b_2,...,b_n)$). Montrer que l'on peut choisir $B$ telle que $\phi_{B}(C)=0\Longleftrightarrow C$ diagonale.
	\item Que vaut alors $\ker(\phi_{B})$ ?
	\item En déduire que $\im(\phi_{B})=\m{D}_0$
\end{enumerate}
\item Établir alors le résultat suivant : "\textbf{Toute matrice de trace nulle est un crochet de Lie"}.
\end{enumerate}
\textit{(D'après ENS Lyon)}
\end{document}
