Une très jolie application de la formule de Poincaré (celle avec les cardinaux) est que c0 (ensemble des suites qui tendent vers 0) n'admet pas de supplémentaire topologique dans l^infty (suites bornées).
Je dis ça à titre culturel car c'est incasable à l'interne, mais ça fait un joli lien entre une formule combinatoire et un résultat d'analyse fonctionnelle !